数学公式

长方形周长

C = 2(a + b)

长方形面积

S = a × b

正方形面积

S = a²

三角形面积

S = a × h ÷ 2

a 为底，h 为高

平行四边形面积

S = a × h

梯形面积

S = (a + b) × h ÷ 2

a、b 为上下底

圆的周长

C = 2πr = πd

圆的面积

S = πr²

长方体体积

V = a × b × c

圆柱体积

V = πr²h

圆锥体积

V = πr²h ÷ 3

等底等高圆柱的三分之一

速度公式

s = v × t

路程 = 速度 × 时间

单价公式

总价 = 单价 × 数量

平方差公式

a² − b² = (a + b)(a − b)

完全平方公式

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

勾股定理

a² + b² = c²

直角三角形两直角边与斜边

一元二次方程求根公式

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）

根的判别式

Δ = b² − 4ac

Δ > 0 两实根；Δ = 0 重根；Δ < 0 无实根

韦达定理

x₁ + x₂ = −b/a，x₁·x₂ = c/a

一元二次方程根与系数的关系

一次函数

y = kx + b

k 为斜率，b 为截距

反比例函数

y = k/x（k ≠ 0）

二次函数顶点式

y = a(x − h)² + k

顶点坐标 (h, k)

多边形内角和

(n − 2) × 180°

弧长公式

l = nπr / 180

n 为圆心角度数

扇形面积

S = nπr² / 360 = lr / 2

两点间距离公式

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

同角三角函数关系

sin²α + cos²α = 1，tanα = sinα / cosα

两角和差公式

sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ

cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ

二倍角公式

sin2α = 2sinα·cosα，cos2α = 2cos²α − 1

正弦定理

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

R 为外接圆半径

余弦定理

c² = a² + b² − 2ab·cosC

等差数列通项与求和

aₙ = a₁ + (n − 1)d，Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2

等比数列通项与求和

aₙ = a₁qⁿ⁻¹，Sₙ = a₁(1 − qⁿ) / (1 − q)

q ≠ 1

对数运算法则

log(MN) = logM + logN，logMⁿ = n·logM

换底公式

log_a b = ln b / ln a

二项式定理

(a + b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ（k = 0…n）

排列与组合

A(n,m) = n!/(n−m)!，C(n,m) = n!/(m!(n−m)!)

导数定义

f′(x) = lim(Δx→0) [f(x + Δx) − f(x)] / Δx

常用导数

(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹，(sinx)′ = cosx，(eˣ)′ = eˣ，(lnx)′ = 1/x

椭圆标准方程

x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）

c² = a² − b²，离心率 e = c/a

点到直线距离

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

球的表面积与体积

S = 4πR²，V = 4πR³ / 3

重要极限

lim(x→0) sinx / x = 1，lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e

洛必达法则

lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x)

适用于 0/0 或 ∞/∞ 型

泰勒展开（麦克劳林）

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …

f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0)·xⁿ / n!

欧拉公式

e^(iθ) = cosθ + i·sinθ

θ = π 时得 e^(iπ) + 1 = 0

微积分基本定理

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)

F′(x) = f(x)（牛顿—莱布尼茨公式）

分部积分法

∫ u dv = uv − ∫ v du

高斯积分

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

定积分求旋转体体积

V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

绕 x 轴旋转

级数求和

Σ 1/n² = π²/6（n = 1…∞）

巴塞尔问题，欧拉求解

傅里叶级数

f(x) = a₀/2 + Σ (aₙcos nx + bₙsin nx)

贝叶斯公式

P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)

正态分布密度函数

f(x) = e^(−(x−μ)²/2σ²) / (σ√(2π))

斯特林公式

n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

阶乘的渐近估计